Рефераты по БЖД

Теория управления. Принципы системного анализа

Математическое моделирование систем, описываемых обыкновенным дифференциальным уравнением при заданных начальных условиях, осуществляется наиболее просто, если уравнение в явном виде разрешено относительно производной:

От влияния внутренних параметров h и воздействий внешней среды v можно избавиться, повторяя решение заданного уравнения при фиксированных значениях этих параметров h=const, v=const.

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка

(2)

Если требуется найти интегральную кривую у=у (х), проходящую через заданную точку М0 (х0, у0), то формулируется задача Коши: найти решение у=у(х) уравнения, удовлетворяющее начальному условию у(х0)=у0.

Существуют различные приемы решений такой задачи: метод последовательных приближений, интегрирование уравнений с помощью степенных рядов, методы Адамса, Крылова, Милна и др. Ниже рассмотрены методы Эйлера и Рунге-Кутта, первый из которых является наиболее наглядным, а второй – наиболее популярным.

Метод Эйлера и его модификации

Принцип численного решения уравнения (2) при начальном условии у(х0)=у0, основанный на методе Эйлера, чрезвычайно прост. Он непосредственно вытекает из смысла производной. Подставляя заданное начальное значение х0 и у0 в правую часть Исходного уравнения (2), мы определим производную в этой точке: y'(х=х0)=f(х0, у0), т. е. найдем тангенс угла наклона касательной к искомой кривой. Это дает возможность определить приближенное значение функции в соседней точке при x1 =x0 + h (рис. 2). При этом приращение функции будет , а полное значение ординаты при этом составит . Таким образом, получены приближенные координаты соседней точки x1, y1, принимая которые за исходные, мы можем повторить вычисления методом Эйлера и найти следующую точку с координатами х2, у2. Аналогично вычисляются все последующие точки по формулам

(3)

где h – достаточно малый шаг приращений координаты х.

Рис. 2.К решению уравнения методом Эйлера

Для того чтобы назначить величину шага, обеспечивающую необходимую точность вычислений, расчет повторяют при шаге, в два раза меньшем первоначального. Если разница в результатах вычислений превышает требуемую точность, то шаг разбиения уменьшают еще раз и повторяют расчет.

Метод Эйлера приводит к систематическому накоплению ошибок, поэтому в практике расчетов используют модификации этого метода: метод ломаных и метод Эйлера-Коши.

В первом случае сначала вычисляют промежуточные значения

и находят направление поля интегральных кривых в средней точке

, а затем полагают .

Во втором случае грубое приближение

, уточняется следующим образом:

Дальнейшим развитием и уточнением метода Эйлера являются различные схемы метода Рунге-Кутта. Ниже рассмотрена одна из таких схем, получившая наибольшее распространение.

Метод Рунге-Кутта

Основная схема метода Рунге-Кутта имеет вид:

(4)

где

(5)

(i = 1, 2,…, n).

Для определения правильности выбора шага h выполняют двойной пересчет, как это было отмечено при рассмотрении метода Эйлера.

Приближенное решение ДУ n-го порядка при заданных начальных условиях

Для дифференциального уравнения n-го порядка

(6)

задача Коши состоит в нахождении решения

удовлетворяющего начальным условиям

; ; …;

где x0, y0, yo’… - заданные числа. Такая задача может быть приведена к решению системы дифференциальных уравнений путем подстановок

, , …, (7)

Будем иметь:

(8)

Дальнейшее решение задачи выполняют как указано выше, например, методом Рунге-Кутта.

Для примера найдем приближенное решение нелинейного дифференциального уравнения свободных колебаний маятника в среде, обладающей сопротивлением. Пусть – угол отклонения маятника от положения равновесия, t – время. Полагая, что сопротивление среды пропорционально угловой скорости маятника, имеем для = (t) нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка

(9)

где – коэффициент затухания колебаний;

g – ускорение свободного падения;

l – длина маятника.

Принимая =0,2, g/l= 10, приходим к уравнению

(10)

с начальными условиями: угол отклонения , угловая скорость .

Выполняя подстановки типа (9), т.е. полагая , запишем уравнение (10) в виде системы уравнений

Перейти на страницу номер:
 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15 
 16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30 
 31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45 
 46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60 
 61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73 


Другие рефераты:

© 2010-2019 рефераты по безопасности жизнедеятельности