Рефераты по БЖД

Теория управления. Принципы системного анализа

,

(11)

Приближенное решение этой системы будем искать методом Рунге-Кутта, используя зависимости (9). При этом роли и в уравнениях (9) будут исполнять их значения:

,

.

Примем: h=0,1; , . При i=0 находим:

;

;

;

;

;

;

;

;

.

Следовательно, при t1=0,1, имеем:

;

Продолжая процесс вычислений для других значений ti, последовательно можем определить все интересующие нас значения .

Приближенное решение ДУ при заданных граничных условиях (краевых задач)

Рассмотренные выше приемы решений обыкновенных дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях в одной точке получены путем последовательного интегрирования уравнения по участкам, на которые может быть разбит весь интервал задания подынтегральной функции. В краевой задаче, когда для дифференциального уравнения заданы граничные условия в различных точках, необходимо получить решение в виде общего интеграла. Для решения таких более сложных задач существуют различные способы. Мы рассмотрим лишь некоторые из них, позволяющие свести решения краевых задач к рассмотренным выше задачам Коши.

16.6.1 Метод начальных параметров

Метод начальных параметров основан на дополнении поставленных для краевой задачи граничных условий в начале участка интегрирования некоторыми параметрами, называемыми начальными. Эти параметры выбирают так, чтобы полученная при этом совокупность начальных условий полностью определяла решение поставленной задачи.

Пусть дана краевая задача для системы n линейных дифференциальных уравнений первого порядка.

(12)

с граничными условиями на концах интервала [0, l]

;

(13)

где – вектор неизвестных у1(х), y2(х), ., уn(х);

А(х) – матрица коэффициентов при неизвестных;

– вектор свободных членов;

– векторы постоянных интегрирования.

Общий интеграл системы уравнений (3.40) запишем в следующем виде:

(14)

где – частное решение матричного уравнения (12), удовлетворяющее всем нулевым начальным условиям ;

– частное решение соответствующего уравнению (12) однородного уравнения , удовлетворяющее начальным условиям , где все элементы равны нулю, кроме i-гo, который равен единице; ci – постоянные интегрирования.

Подстановкой полученного по (12) решения в условия (13) получают систему n алгебраических уравнений для определения ci. Найденные постоянные подставляют в (14), откуда находят решение исходной краевой задачи.

16.6.2 Редукция к задаче Коши для линейного ДУ второго порядка

Найдем решение линейного дифференциального уравнения

(15)

удовлетворяющего краевым условиям

;

(16)

где p(x), q(x), f(x) — непрерывные функции; — заданные постоянные, причем , .

Из курса высшей математики известно, что если u=u(x) — частное решение соответствующего однородного уравнения

(17)

то произведение cu, где c – произвольная постоянная, есть общее решение этого уравнения. Тогда общее решение исходного неоднородного уравнения (3.42) y=y(x) будет, равно сумме общего решения см однородного уравнения (17) и частного решения v=v(x) неоднородного уравнения

(18)

Таким образом, искомое решение запишем в виде комбинации

(19)

Потребуем, чтобы первое краевое условие (17) выполнялось для функции y при любом c. Для этого подставим выражение (19) в это краевое условие, в результате чего будем иметь

Такое условие возможно для произвольного c, если будут выполнены равенства

,

.

Следовательно,

; (20)

где постоянная , при этом

Перейти на страницу номер:
 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15 
 16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30 
 31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45 
 46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60 
 61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73 


Другие рефераты:

© 2010-2019 рефераты по безопасности жизнедеятельности