Влияние внешнего поля скоростей на распространение ландшафтного пожара

Метод Крупных частиц на разнесенной сетке. Уравнение газовой динамики в дивергентной форме

Для плоских течений система дифференциальных уравнений газовой динамики в дивергентной форме при покоординатной записи имеет следующий вид [14].

Уравнение неразрывности

(13)

уравнение движения

(14)

(15)

уравнение энергии

(16)

Здесь (х, у) - декартовы координаты в плоскости течения, I - время, р - плотность газа, - компоненты скорости газа, р - давление, W - плотность полной энергии, которая может быть выражена формулой

(17)

где - плотность внутренней энергии газа, - модуль вектора скорости. Система уравнений (13)—(16) представляет собой дифференциальную форму законов сохранения массы, импульса и энергии [15]. Для замыкания системы к ним необходимо добавить термодинамические соотношения, связывающие р и W.

Например, для совершенного газа они будут иметь вид [9]:

где T - температура газа, R - универсальная газовая постоянная, - теплоемкость газа при постоянном объеме. Для системы дифференциальных уравнений (13)—(16) в

некоторой области с границей S ставится начально-краевая задача. В начальный момент времени t = 0 в области решения задаются значения функций На границе S для t0 ставятся некоторые граничные условия.

Схема расщепления

Схема расщепления по физическим процессам, необходимая для реализации метода частиц-в-ячейках, вводится здесь следующим образом. Вместо системы уравнений (13)—(16) рассмотрим две системы дифференциальных уравнений [14]:

(18)

(19)

Система уравнений (18) получается из уравнений (13)—(16), если в них опустить дивергентные слагаемые плотности потоков массы, компонент импульса и энергии. С физической точки зрения, уравнения (18) описывают процесс изменения параметров газа в произвольной области течения за счет работы сил давления, действующих на границе области. В свою очередь, система (19), содержащая дивергентные слагаемые, отвечает процессу конвективного переноса газодинамических величин. Таким образом, расщепление выделяет в динамике газа два физических процесса. При этом достигается приближенная факторизация исходной системы (13)—(16) на каждом временном шаге т. Это означает, что на очередном шаге т решение системы (13)—(16) происходит в два этапа и сводится к последовательному решению систем (18) и (19). Очевидно, что система (18) соответствует эйлерову этапу, а система (19) — лагранжеву. В качестве начальных значений для эйлерового этапа берутся значения функций с предыдущего шага по времени

где f - любая неизвестная функция из системы (18), n – номер шага.

Из результатов расчета эйлерового этапа с помощью процедуры интерполяции "сетка — частицы" получают характеристики частиц для реализации лагранжева этапа.

Метод Харлоу в газовой динамике

В координатной плоскости (х,у) введем эйлерову сетку узлов , образованную центрами декартовых ячеек со сторонами h1и h2. Сеточную область течения обозначим через . При этом номера ячеек и индексы сеточных функций определяются индексами ячейки.

Эйлеров этап

К началу этапа на n-м временном слое, т.е. в момент времени tn, для всех ячеек (i, к) известны величины Этап реализуется с помощью конечно-разностных схем. В работах [21], [9] приведены различные схемы для первого этапа метода частиц с описанием их свойств. Рассмотрим одну из этих схем. Как видно из первого уравнения системы (18), плотность газа на эйлеровом этапе остается постоянной. Это позволяет преобразовать систему (18) к виду [14]:

(20)

Для этой системы запишем следующую явную по времени схему [14]:

(21)

Здесь введено обозначение для среднего значения скорости на двух временных слоях. Первое соотношение выражает постоянство плотности газа на эйлеровом этапе. Величины с дробными нижними индексами отвечают значениям на границах ячеек и определяются как полу сумма значений соответствующих функций в двух соседних ячейках. Например,

Легко видеть, что схема (21) аппроксимирует уравнения (20) с порядком Здесь второй порядок по h1и h2 получается из-за использования центральных разностей для пространственных производных. Важным свойством схемы (21) является ее консервативность. Это доказывается путем приведения ее к дивергентному виду [14]:

(22)

где

Первые два уравнения системы (22) получаются элементарно из системы (9), а третье уравнение выводится следующим образом.

Лагранжев этап

Систему уравнений (7) второго этапа представим в векторной форме [14]

(23)

где — вектор скорости газа, — вектор решения, компоненты которого есть плотность , плотность импульса и плотность полной энергии (масса, импульс и полная энергия единицы объема газа).